Это выражение из «Аристократки», по всей видимости, является авторским и основано на звуковом сходстве слов. В рассказе «Аристократка» Григорий Иванович еще несколько раз сравнивает себя с животными: он вьется вокруг аристократки «этаким гусем», ходит вокруг нее «что петух» и распаляется, когда ему «будто попала вожжа под хвост». Первые два выражения могут восходить к синонимичным фразеологизмам «ходить гоголем» и «ходить петухом», что значит «держаться гордо, важно». В отличие от этих выражений, сочетание «волочусь, что щука» придумано самим рассказчиком наряду с другими неологизмами (см. «глазами стрижет», «буржуем нерезаным» и др.).
Обилие сравнений из области деревенского быта в речи рассказчика противопоставлено деталям модного городского образа жизни, к которому привыкла «аристократка». Гуляя с ней по улицам, Григорий Иванович чувствует неловкость — «перед народом совестно».
Глагол «волочиться» в этом контексте работает в двух значениях. С одной стороны, прямое значение этого глагола указывает на подневольное движение — дама не просит, а «велит под руку принять». С другой стороны, угадывается устаревшее переносное значение глагола — «ухаживать за женщиной» (обычно без серьезных намерений). Интересно, что НКРЯ фиксирует употребление глагола в переносном значении как более частотное для XIX века, а в XX веке оно постепенно вытесняется употреблением глагола в прямом значении. «Волочась за аристократкой», следуя модели поведения прошлого века, Григорий Иванович как будто примеряет на себя некую буржуазную маску, не свойственную советскому «новому человеку», и именно поэтому ему становится стыдно.